Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.2/Unitat 4. Geometria/Teorema de Pitàgores

El teorema

El teorema de Pitàgores, en el seu enunciat habitual, estableix que en un triangle rectangle la suma dels quadrats dels catets (els costats que formen l'angle recte) és igual al quadrat de la hipotenusa (l'altre costat). Aquesta igualtat se sol escriure simbòlicament:

$a^2+b^2=c^2$

on c representa la longitud de la hipotenusa, i a i b representen les longituds dels altres dos costats. Aquesta igualtat s'anomena equació de Pitàgores

El recíproc també es compleix, és a dir: en un triangle, si es compleix l'equació de Pitàgores, és a dir, la suma dels quadrats de les longituds dels costats més curts és igual al quadrat de la longitud del costat més llarg, aleshores l'angle comprès entre els dos costats més curts és un angle recte.

El teorema de Pitàgores deu el nom al matemàtic grec Pitàgores, al que segons la tradició se li atribueix el seu descobriment i la demostració, encara que sovint s'argumenta que el coneixement del teorema era ja anterior. Hi ha proves que els matemàtics babilonis coneixien la fórmula, encara que ens ha arribat molt poca informació sobre l'ús que en feien.

Càlcul de longituds

Considerem un triangle rectangle

Si c denota la longitud de la hipotenusa i a i b denoten les longituds dels altres dos costats, el teorema de Pitàgores es pot expressar com l'equació de Pitàgores:

$a^2+b^2=c^2$

L'equació de Pitàgores estableix una relació simple entre els tres costats d'un triangle rectangle de manera que, si es coneix la longitud de qualsevol dels dos costats, llavors es pot trobar la longitud del tercer costat.

Cas: falta hipotenusa

Si la longitud de a i b són conegudes, llavors c es pot calcular de la següent manera:

$c=\sqrt{a^2+b^2}$

Cas: falta un catet

Si la longitud de c i un catet a són coneguts, la longitud de l'altre catet b es pot calcular amb la següent equació:

$b=\sqrt{c^2-a^2}$

Cas: falta l'altre catet

De forma similar a l'anterior, si la longitud de c i un catet b són coneguts, la longitud de l'altre catet a es pot calcular amb la següent equació:

$a=\sqrt{c^2-b^2}$

Fonts

• Viquipèdia. Triangle rectangle

Recursos

• Practica. Teorema de Pitágoras al Khan Academy
• Explicacions enregistrades pel professor