Matemàtiques (nivell ESO)/Esdeveniments aleatoris

A cada element $\omega$ de l'univers, és a dir a cadascun dels resultats possibles de l'experiment considerat, es pot associar la subclasse $\{\omega \}$ constituïda amb aquest element i s'anomena esdeveniment elemental.

De manera més general, un esdeveniment aleatori és qualsevol subconjunt d'aquest univers.

Els esdeveniments es poden descriure a partir d'una propietat o bé enumerant els seus elements com una llista.

Exemples

Llençament d'un dau de 6 cares

Si consideram l'univers $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$ dels resultats de llançar un dau de 6 cares, aleshores serien esdeveniments qualsevol dels conjunts següents:

• $\{1,2\}$
• $\{4,6\}$
• $\{2,5,6\}$
• Nombres parells, equivalent a $\{2,4,6\}$
• Nombres més grans que 3, equivalent a $\{4,5,6\}$

Resultats de llençar una moneda

Considerem l'exeriment resultat de llençar una moneda:

• C: Surt cara
• X: Surt creu

Els esdeveniments que es poden descriure són els següents:

Amb 1 element	Amb 2 elements	Amb 0 elements
$\{C\}$ $\{X\}$	$\{C,X\}$ Llista completa	$\{\}$ Llista buida

Resultats d'un partit

Considerem l'exeriment resultat d'un partit:

• A: Guanya A
• B: Guanya B
• E: Empaten

Els esdeveniments que es poden descriure són els següents:

Amb 1 element	Amb 2 elements	Amb 3 elements	Amb 0 elements
$\{A\}$ $\{B\}$ $\{E\}$	$\{A,B\}$ $\{A,E\}$ $\{B,E\}$	$\{A,B,E\}$ Llista completa	$\{\}$ Llista buida

Resultats d'un altre partit

Considerem l'exeriment resultat d'un partit:

• A: Guanya A
• B: Guanya B
• C: Es cancel·la
• E: Empaten

Els esdeveniments que es poden descriure són els següents:

Amb 1 element	Amb 2 elements	Amb 3 elements	Amb 4 elements	Amb 0 elements
$\{A\}$ $\{B\}$ $\{C\}$ $\{E\}$	$\{A,B\}$ $\{A,C\}$ $\{A,E\}$ $\{B,C\}$ $\{B,E\}$ $\{C,E\}$	$\{A,B,C\}$ $\{A,B,E\}$ $\{A,C,E\}$ $\{B,C,E\}$	$\{A,B,C,E\}$ Llista completa	$\{\}$ Llista buida

Recompte d'esdeveniments

Si un experiment té $n$ resultats possibles, aleshores el nombre d'esdeveniments del espai mostral és

$2^n$

Exemples d'aplicació

• Si l'experiment té 3 resultats possibles, l'espai mostral té $2^3=8$ esdeveniments.
• Si l'experiment té 4 resultats possibles, l'espai mostral té $2^4=16$ esdeveniments.
• Si l'experiment té 5 resultats possibles, l'espai mostral té $2^5=32$ esdeveniments.
• Si l'experiment té 6 resultats possibles, l'espai mostral té $2^6=64$ esdeveniments.

Altres exemples

Experiment	Espai mostral	Mida de l'espai mostral	Nombre d'esdeveniments	Alguns esdeveniments
Llençament d'una moneda	$\{cara,creu\}$	2	4	$\{cara\},\{creu\}$
Llençament d'un dau	$\{1,2,3,4,5,6\}$	6	64	$\{2,3\},\{1,4,5\},\{2,3,4,5\}$
Extreure una bolla d'una bossa	$\{N,B,V\}$	3	8	$\{N\},\{B\},\{V\},\{N,B\},\{N,V\}$

Descriure esdeveniments

Els esdeveniments es poden descriure de diverses formes, depenent del tipus de problema:

• Com una llista d'elements. Per exemple $\{cara,creu\}$
• Com una propietat. Per exemple $x>3$
• Com una frase en llenguatge natural. Per exemple "els nombre parells"

Exemples

Si consideram l'experiment de llençar un dau de 6 cares, l'esdeveniment següent:

$A=\{2,4,6\}$

es pot descriure en llenguatge natural de qualsevol de les formes següents:

• Els nombres parells
• Els nombres que no són senars

A continuació

Els [[../Tipus d'esdeveniments|tipus més destacats d'esdeveniments aleatoris]] són: l'esdeveniment impossible, l'esdeveniment segur i els esdeveniments elementals.