Matemàtiques (nivell ESO)/Operacions amb esdeveniments

Amb els esdeveniments d'un experiment aleatori es poden efectuar diferents operacions. Donats dos esdeveniments A i B podem definir les operacions d'unió, intersecció, diferència i complementari.

Unió

La unió de A i B és l'esdeveniment format per tots els esdeveniments elementals de A i de B. Es verifica quan succeeix A o succeeix B o tots dos. S'indica:

$A\cup B$

Taula per a la unió:

Pertany a A	Pertany a B	Pertany al resultat $A\cup B$
Sí	Sí	Sí
Sí	No	Sí
No	Sí	Sí
No	No	No

Intersecció

La intersecció de A i B és l'esdeveniment format pels esdeveniments elementals comuns a A i B. Es verifica quan ocorren A i B a la vegada. S'indica:

$A\cap B$

Taula per a la intersecció:

Pertany a A	Pertany a B	Pertany al resultat $A\cap B$
Sí	Sí	Sí
Sí	No	No
No	Sí	No
No	No	No

Per exemple

$A=\{5,6,7,8,9,10\}$

$B=\{9,10\}$

$A\cap B=\{9,10\}$

Diferència

La diferència de A i B és l'esdeveniment format pels esdeveniments elementals de A que no pertanyen a B. Es verifica si succeeix A però no succeeix B. S'indica:

$A-B$

Per exemple: $A=\{1,2\}$, $B=\{2,4,5,6\}$

El conjunt $A-B$ ha d'estar format pels elements de A, però eliminant els que també estiguin dins B.

Aleshores de la llista de nombres 1, 2 que estan dins A, hem d'eliminar els de B, que són 2, 5, 6. Per tant eliminam el 2, però no fem res amb 5 i 6 perquè tanmateix no són dins A.

$A=\{$	$1$	$2$					$\}$
$B=\{$		$2$		$4$	$5$	$6$	$\}$
	$\downarrow$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$
$A-B=\{$	$1$						$\}$

Per tant $A-B=\{1\}$

Taula per a la diferència:

Pertany a A	Pertany a B	Pertany al resultat $A-B$
Sí	Sí	No
Sí	No	Sí
No	Sí	No
No	No	No

Complementari

El complementari de A es defineix com $\mathrm{\Omega }-A$. S'indica:

$\bar{A}$ o també $A^c$

Per exemple si $A=\{1,2\}$

$\bar{A}$ ha d'estar format per tots els elements de l'univers que no apareguin dins A.

Taula per al complementari:

Pertany a A	Pertany al resultat $\overline{A}$
Sí	No
No	Sí

Escrivim la llista completa de nombres 1, 2, 3, 4, 5, 6. Eliminam aquells nombres que estan dins A, és a dir, esborram 1, 2, de forma que queden 3, 4, 5, 6

$\mathrm{\Omega }=\{$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$\}$
$A=\{$	$1$	$2$					$\}$
	$\times$	$\times$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$
$\bar{A}=\{$			$3$	$4$	$5$	$6$	$\}$

Per tant $\bar{A}=\{3,4,5,6\}$

Quadre resum

Símbol	Operació	Resultat
$A\cup B$	Unió	els elements que són de A, juntament amb els que són de B, sense repetir-los
$A\cap B$	Intersecció	els elements que són de A i al mateix temps de B
$A-B$	Diferència	els elements que són de A però no estan dins B
$A^c$, $\bar{A}$	Complementari	els elements de l'espai mostral que no estan dins A

Algunes propietats

La diferència compleix la igualtat: $A-B=A\cap \bar{B}$.

Exemples

Si consideram l'univers $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$ dels resultats de llançar un dau de 6 cares i els esdeveniments següents:

• $A=\{1,2\}$
• $B=\{4,6\}$
• $C=\{2,5,6\}$

Aleshores com es descriuen les operacions següents?

Què és $A\cup C$

$A\cup C$ ha d'estar format per tots els elements de A i tots els elements de C, però sense repetir-los.

Aleshores escrivim 1, 2 que provenen de A i també 5, 6 del C, però no tornam a escriure 2 perquè ja l'hem inclòs.

$A=\{$	$1$	$2$					$\}$
$C=\{$		$2$		$4$	$5$	$6$	$\}$
	$\downarrow$	$\downarrow$	$\times$	$\downarrow$	$\downarrow$	$\downarrow$
$A\cup C=\{$	$1$	$2$		$4$	$5$	$6$	$\}$

Per tant $A\cup C=\{1,2,5,6\}$

Què és $A\cap C$?

$A\cap C$ ha d'estar format només per aquells elements de A que també estiguin dins C.

Aleshores escrivim el 2 perquè pertany a A i també a C, però no escrivim 1 perquè només està dins A, ni tampoc 5, 6 perquè només estan dins C.

$A=\{$	$1$	$2$					$\}$
$C=\{$		$2$		$4$	$5$	$6$	$\}$
	$\times$	$\downarrow$	$\times$	$\times$	$\times$	$\times$
$A\cap C=\{$		$2$					$\}$

Per tant $A\cap C=\{2\}$

Practica

Considerem l'univers $\mathrm{\Omega }=\{1,2,3,4,5,6\}$ dels resultats de llançar un dau de 6 cares i els esdeveniments següents:

• $A=\{1,2\}$
• $B=\{4,6\}$
• $C=\{2,5,6\}$

Calcula el resultat de cada una de les operacions.

Plantilla:Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Solució	Plantilla:Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Solució	Plantilla:Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Solució
Plantilla:Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Solució	Plantilla:Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Solució	Plantilla:Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Solució
Plantilla:Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Solució	Plantilla:Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Solució	Plantilla:Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Solució
Plantilla:Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Solució	Plantilla:Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Solució	Plantilla:Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Solució
Plantilla:Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Solució	Plantilla:Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Solució	Plantilla:Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/Plantilles/Solució

Compatibilitat

En un experiment aleatori hi ha esdeveniments que es poden verificar a la vegada i d'altres que no.

Dos esdeveniments són:

• Compatibles si tenen algun esdeveniment elemental comú. En aquest cas $A\cap B\ne \mathrm{\varnothing }$: es poden verificar a la vegada.
• Incompatibles si no tenen cap esdeveniment elemental en comú: en aquest cas $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ i no es poden verificar a la vegada.

Un esdeveniment i el seu contrari són sempre incompatibles, però dos esdeveniments incompatibles no sempre són contraris, com es pot comprovar al següent exemple.

Exemple 1

Si consideram l'espai mostral $E=\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$ i esdeviments $A=\{1,2\}$, $B=\{3,4\}$, aleshores $A$ i $B$ són incompatibles (no tenen cap nombre en comú), però $A$ i $B$ no són contraris (hi faltarien els nombres 5, 6, 7, 8).

Exemple 2

Continuant amb l'exemple del dau de 6 cares, serien incompatibles els esdeveniments següents:

• $A$ i $B$
• $A$ i $B\cap C$
• $A$ i $B-A$