Matemàtiques (nivell ESO)/Matemàtiques interdisciplinars/Inversions econòmiques

Quina diferència hi ha entre interès simple i interès compost?

Per què augmenta tant la quantitat a retornar amb l'interès compost?

Interès simple

Comencem amb un exemple pràctic

Una entitat financera ofereix un préstec de 1000 € a un rèdit del 5% a interès simple amb pagament mensual. Na Joana demana el préstec. Si no retorna els doblers, de quant serà el deute al cap d'un mes? I al cap de cada mes fins arribar a mig any?

Primera pregunta

Per contestar a la primera pregunta, s'ha de tenir en compte que na Joana ha de retornar els 100 € i també els interessos al 5%. Per tant, s'ha de calcular el 5% dels 1000 € i aquesta quantitat seran els interessos del deute:

5% de 1000 = $5\cdot 1000÷100=50$

El deute és la suma del capital prestat 1000 € i els interessos 50 €. Això és 1050 €.

Al cap de 2 mesos

Per al 2n mes, es calcula el 5% novament sobre el capital inicial de 1000 €. Per tant, l'interès tornarà a ser de 50 €. Aleshores el deute total de na Joana estarà format pel capital inicial, els interessos del primer mes i els interessos del segon mes.

$1000+50+50=1100$

Al cap de 3 mesos

Per al 3r mes, es torna a calcular el 5% del capital inicial de 1000 €. Per tant, el deute total és de:

$1000+50+50+50=1150$

Durant el primer mig any

Emplenam la taula següent amb els deutes acumulats després de finalitzar cada mes.

Mes	Capital inicial	Interessos	Deute acumulat
1r	1000	50	$1000+50=1050$
2n	1000	50	$1000+50\cdot 2=1100$
3r	1000	50	$1000+50\cdot 3=1150$
4t	1000	50	$1000+50\cdot 4=1200$
5è	1000	50	$1000+50\cdot 5=1250$
6è	1000	50	$1000+50\cdot 6=1300$

Interès compost

Canviam les condicions de l'exemple pràctic

Una entitat financera ofereix un préstec de 1000 € a un rèdit del 5% a interès compost amb pagament mensual. Na Joana demana el préstec. Si no retorna els doblers, de quant serà el deute al cap d'un mes? I al cap de cada mes fins arribar a mig any?

Primera pregunta

Per contestar a la primera pregunta, s'ha de tenir en compte que na Joana ha de retornar els 100 € i també els interessos al 5%. Per tant, s'ha de calcular el 5% dels 1000 € i aquesta quantitat seran els interessos del deute:

5% de 1000 = $5\cdot 1000÷100=50$

El deute és la suma del capital prestat 1000 € i els interessos 50 €. Això és 1050 €. En aquest cas, l'interès compost coincideix amb l'interès simple.

Al cap de 2 mesos

Per al 2n mes, es calcula el 5% sobre el capital que es deu, que és de 1050 €. Per tant, l'interès serà de

$5\cdot 1050÷100=52.5$

Aleshores el deute total de na Joana estarà format pel deute del primer mes i l'interès del segon mes.

$1050+52.5=1102.5$

Al cap de 3 mesos

Per al 3r mes, es torna a calcular el 5% del capital que es deu, que ara és de 1102.5 €.

$5\cdot 1102.5÷100=55.125$

Per tant, el deute total és de:

$1102.5+55.125=1155.625$

Durant el primer mig any

Emplenam la taula següent:

Mes	Capital inicial	Interessos	Deute acumulat
1r	1000	$5\cdot 1000÷100=50$	$1000+50=1050$
2n	1050	$5\cdot 1050÷100=52.5$	$1050+52.5=1102.5$
3r	1102.5	$5\cdot 1102.5÷100=55.125$	$1102.5+55.125=1157.625$
4t	1157.625	$5\cdot 1157.625÷100=57.88125$	$1157.625+57.88125=1215.50625$
5è	1215.50625	$5\cdot 1215.50625÷100=60.7753125$	$1215.50625+60.7753125=1276.2815625$
6è	1276.2815625	$5\cdot 1276.2815625÷100=63.814078125$	$1276.2815625+63.814078125=1340,095640625$

Comparació de resultats

Interès simple				Interès compost
Mes	Capital inicial	Deute acumulat		Mes	Capital inicial	Deute acumulat
1r	1000	$1000+50=1050$		1r	1000	$1000+50=1050$
2n	1000	$1000+50\cdot 2=1100$		2n	1050	$1050+52.5=1102.5$
3r	1000	$1000+50\cdot 3=1150$		3r	1102.5	$1102.5+55.125=1157.625$
4t	1000	$1000+50\cdot 4=1200$		4t	1157.625	$1157.625+57.88125=1215.50625$
5è	1000	$1000+50\cdot 5=1250$		5è	1215.50625	$1215.50625+60.7753125=1276.2815625$
6è	1000	$1000+50\cdot 6=1300$		6è	1276.2815625	$1276.2815625+63.814078125=1340,095640625$

Conclusions

L'interès simple només té en compte el capital inicial per calcular l'interès de cada període de capitalització, mentre l'interès compost té en compte tot el deute acumulat (capital inicial i interessos acumulats).

De fet, les fórmules per al càlcul de l'interès simple i el compost són diferents:

• Interès simple: $I=\frac{C\cdot r\cdot t}{100}$

• Interès compost: $C_f=C\cdot {(1+\frac{r}{100})}^t$

El deute augmenta molt més amb l'interès compost que amb el simple. Per tant, a l'interès compost convé retornar el deute quant abans millor.