Matemàtiques (nivell ESO)/Operacions amb arrels

Suma i resta

Per sumar radicands, han de ser semblants, és a dir, han de tenir el mateix índex i el mateix radicand.

Se sumen els coeficients i es deixen el mateix índex i el mateix radicand.

$a\sqrt[n]{c}+b\sqrt[n]{c}=(a+b)\sqrt[n]{c}$

Quan no són semblants, abans cal extreure factors del radicand perquè ho siguin:

Exemple:

 $\sqrt{18}+\sqrt{50}+\sqrt{2}-\sqrt{8}=\sqrt{2\cdot 3^2}+\sqrt{2\cdot 5^2}+\sqrt{2}-\sqrt{2^3}=3\sqrt{2}+5\sqrt{2}+\sqrt{2}-2\sqrt{2}=7\sqrt{2}$

Multiplicació de radicands

Quan no tenen el mateix índex, cal reduir-los a índex comú. Això s'aconsegueix fent el MCM dels índexs:

 $\sqrt[3]{2}\cdot \sqrt[5]{5}=\sqrt[15]{2^5}\cdot \sqrt[15]{5^3}=\sqrt[15]{2^5\cdot 5^3}$

Divisió de radicands

Per dividir dos radicands, han de tenir el mateix índex. Es deixa el mateix índex i es divideixen els radicands.

$\sqrt[n]{a}÷\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{a÷b}$

$\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\sqrt[10]{\frac{16^2}{2^5}}=\sqrt[10]{2^8÷2^5}=\sqrt[10]{2^3}$

Si no tenen el mateix índex, abans s'ha de reduir al mateix índex. Per exemple calculant el MCM.

Exemples:

 $\frac{\sqrt[5]{16}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt[10]{16^2}}{\sqrt[10]{2^5}}$

Arrel d'arrel amb els radicals multiplicant

Quan no hi ha res entre les arrels que estan multiplicant:

Es multipliquen els índexs i es deixa el mateix radicand.

$\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}}=\sqrt[n\cdot m]{a}$

Quan hi ha alguna cosa entre les arrels que estan multiplicant:

S'introdueixen els factors dins l'arrel més interior i després es procedeix com al cas anterior:

$\sqrt[n]{a\sqrt[m]{b}}=\sqrt[n]{\sqrt[m]{a^m\cdot b}}=\sqrt[n\cdot m]{a^m\cdot b}$

Arrel d'arrel amb els radicals sumant

Es calculen les arrels començant per la més interior i acabant amb la més exterior.

Exemple:

 $\sqrt{14+\sqrt{1+\sqrt{9}}}=\sqrt{14+\sqrt{1+3}}=\sqrt{14+2}=4$