Matemàtiques (nivell ESO)/Terme general d'una progressió aritmètica

Fórmula

La fórmula per calcular el terme general d'una progressió aritmètica és:

 $\begin{matrix} a_{n} \end{matrix}$  =  $\begin{matrix} a_{1} \end{matrix}$  +  $\begin{matrix} d \end{matrix}$ ·( $\begin{matrix} n \end{matrix}$  - 1)

En què $\begin{matrix} a_{1} \end{matrix}$ és el primer terme de la progressió i $\begin{matrix} d \end{matrix}$ , la diferència.

Exemple:

Quin és el terme general d'aquesta progressió geomètrica si $\begin{matrix} d \end{matrix}$ = 4 ?

4, 8, 12, 16, 20, 24 ...

$\begin{matrix} a_{1} \end{matrix}$ = 4

$\begin{matrix} a_{n} \end{matrix}$ = $\begin{matrix} a_{1} \end{matrix}$ + $\begin{matrix} d \end{matrix}$ ·( $\begin{matrix} n \end{matrix}$ - 1)

$\begin{matrix} a_{n} \end{matrix}$ = 4 + 4 · (n - 1) = 4 + (4 · n) - 4

$\begin{matrix} a_{n} \end{matrix}$ = 4 + (4 · n) - 4

Com calculem ara $\begin{matrix} a_{13} \end{matrix}$ si tenim el terme general que és 4 + (4 · n) - 4 ?

$\begin{matrix} a_{13} \end{matrix}$ = 4 + (4 · 13) - 4 = 52

$\begin{matrix} a_{13} \end{matrix}$ = 52

Demostració

Considerem una progressió aritmètica $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} . . .$ , de manera que la diferència sigui $d$ . Anem a demostrar que el terme general és $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$

Ho raonarem de manera inductiva a partir de $a_{2}$ , després $a_{3}$ i així successivament.

Aprofitant que existeix una diferència $d$ entre termes...

El terme 2 es pot calcular com:
$a_{2} = a_{1} + d$
El terme 3 es pot calcular com:
$a_{3} = a_{2} + d$

però substituint:

$a_{3} = a_{1} + d + d = a_{1} + 2 d$
El terme 4 es pot calcular com:
$a_{4} = a_{3} + d = a_{1} + 2 d + d = a_{1} + 3 d$

Seguint així arribaríem a veure que

a_{n} = a_{n - 1} + d = a_{1} + (n - 1) d

Això demostra el que volíem.

Matemàtiques (nivell ESO)/Terme general d'una progressió aritmètica

Fórmula

Demostració

Menú de navegació

Cerca