Matemàtiques (nivell ESO)/Equacions de segon grau/Un examen resolt

Pregunta 1

1. Resol les equacions de segon grau següents:

1. $x^2+17x=-70$
2. $x^2=-x-1$

1. $27-3x^2=0$
2. $-x^2+13x=0$
3. $2\cdot (x^2+4)-3\cdot (2x-4)=40$
4. $(x-5{)}^2=36$

Resolem la primera equació passa per passa:

• Passam abans tots els termes a un costat:

$x^2+17x+70=0$

• Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

• Per això identificam les lletres $a=1$, $b=17$ i $c=70$
• Substituim a la fórmula anterior i operam:

$x=\frac{-17\pm \sqrt{17^2-4\cdot 1\cdot 70}}{2\cdot 1}$

$=\frac{-17\pm \sqrt{289-280}}{2}$

$=\frac{-17\pm 3}{2}$

• Distigim les dues solucions:

$x=\frac{-17+3}{2}=-7$ i $x=\frac{-17-3}{2}=-10$

Resolem la segona equació passa per passa:

• Passam abans tots els termes a un costat:

$x^2+x+1=0$

• Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

• Per això identificam les lletres $a=1$, $b=1$ i $c=1$
• Substituim a la fórmula anterior i operam:

$x=\frac{-1\pm \sqrt{1^2-4\cdot 1\cdot 1}}{2\cdot 1}$

$=\frac{-1\pm \sqrt{1-4}}{2}$

$=\frac{-1\pm \sqrt{-3}}{2}$

• Com que el discriminant és negatiu (-3), l'equació de segon grau és incompatible.

Resolem la tercera equació passa per passa:

• Tots els termes ja estan al mateix costat.
• Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

• Per això identificam les lletres $a=-3$, $b=0$ i $c=27$
• Substituim a la fórmula anterior i operam:

$x=\frac{-0\pm \sqrt{0^2-4\cdot (-3)\cdot 27}}{2\cdot (-3)}$

$=\frac{\pm \sqrt{324}}{-6}$

$=\frac{\pm 18}{-6}$

• Distigim les dues solucions:

$x=\frac{+18}{-6}=-3$ i $x=\frac{-18}{-6}=+3$

Resolem la quarta equació passa per passa:

• Tots els termes ja estan al mateix costat
• Intentam aplicar la fórmula de l'equació de segon grau:

$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

• Per això identificam les lletres $a=-1$, $b=13$ i $c=0$
• Substituim a la fórmula anterior i operam:

$x=\frac{-13\pm \sqrt{13^2-4\cdot (-1)\cdot 0}}{2\cdot (-1)}$

$=\frac{-13\pm \sqrt{169}}{-2}$

$=\frac{-13\pm 13}{-2}$

• Distigim les dues solucions:

$x=\frac{-13+13}{-2}=0$ i $x=\frac{-13-13}{-2}=+13$

Pregunta 3

3. Un terreny rectangular de 30 x 40 metres és travessat per un camí recte que és el més llarg possible. Quina distància té aquest camí?

Resolem el problema passa a passa:

• El terreny correspon a una figura geomètrica d'un rectangle.
• El camí que ens demanen és la diagonal d'aquest rectangle.
• La diagonal divideix el terreny en dos triangles rectangles.
• La hipotenusa mesura el mateix que la diagonal.
• El triangle rectangle té com a catets 30 i 40.
• Diguem $x$ a la hipotenusa, que serà també la diagonal.
• Aplicam la fórmula del teorema de Pitàgores:

  $h^2=a^2+b^2$

• Substituim pels valors concrets i obtenim:

  $x^2=30^2+40^2$

• Operam i aïllam la incògnita:

  $x^2=900+1600$

  $x^2=2500$

  $x=\pm \sqrt{2500}=\pm 50$

• Descartam el valor negatiu perquè es tracta d'una longitud (positiva).
• Per tant, la hipotenusa fa 50 metres. I també el camí que ens demanen.

Pregunta 4

4. Calcula dos nombres sabent que es diferencien en 10 unitats i el seu producte és 144.

Resolem el problema passa a passa:

• Fem el plantejament en termes d'equacions. Com que han de ser dos nombres diferents en 10 unitats, un d'ells serà $x$ i l'altre serà $x+10$
• L'enunciat diu que el seu producte és 144 i per tant obtenim l'equació

$x\cdot (x+10)=144$

• Operam fent servir la propietat distributiva:

$x^2+10x=144$

• Passam tots els termes a un costat:

$x^2+10x-144$

• Aprofitam la fórmula de l'equació de segon grau.

  $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

• Identificam les lletres $a=1$, $b=10$ i $c=-144$
• Substituim i operam:

  $x=\frac{-10\pm \sqrt{10^2-4\cdot 1\cdot (-144)}}{2\cdot 1}$

  $=\frac{-10\pm \sqrt{100+576}}{2}$

  $=\frac{-10\pm 26}{2}$

• Distingim les dues solucions: $x=\frac{-10+26}{2}=+8$ i $x=\frac{-10-26}{2}=-18$
• Per a cada una de les solucions, hem de trobar el segon nombre.
• Per al valor $x=+8$ obtenim $x+10=+8+10=+18$
• Per al valor $x=-18$ obtenim $x+10=-18+10=-8$
• En conclusió veiem que les solucions són
  • $+8$ i $+18$
  • $-18$ i $-8$

Pregunta 5

5. Calcula els costats d'un triangle rectangle si sabem que compleix aquestes dues coses:

1. La hipotenusa mesura 10 unitats més que el catet menor.
2. El catet major mesura 5 unitats més que el catet menor.

Resolem el problema passa per passa:

• Els costats d'un triangle rectangle es calculen amb el teorema de Pitàgores.
• Diguem $x$ al catet menor.
• Aleshores:

  $(x+10{)}^2=(x+5{)}^2+x^2$

• Desenvolupam la igualtat emprant una de les identitats notables:

  $(a+b{)}^2=a^2+b^2+2ab$

• El resultat queda:

  $x^2+20x+100=x^2+10x+25+x^2$

  $x^2+20x+100-x^2-10x-25-x^2=0$

• Simplificam i passam tots els termes a un costat:

  $-x^2+10x+75=0$

• Aplicam la fórmula de l'equació de segon grau:

  $x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

• Posam valors a les lletres: $a=-1$, $b=10$ i $c=75$
• Com a solució, obtenim $x=15$ i $-5$ però descartam la negativa perquè es tracta de longituds (positives).
• En conclusió, els costats d'aquest triangle mesuren 15, 20 i 25.

Pregunta 6

6. Contesta les preguntes teòriques següents:

1. Defineix què és el discriminant d'una equació de segon grau.
2. Escriu una equació de segon grau que sigui incompatible i diferent de les del primer exercici.

El discriminant és l'expressió algebraica que apareix sota el signe de l'arrel dins la fórmula que resol l'equació de segon grau i serveix per determinar el nombre de solucions d'una equació de segon grau. Concretament, si l'equació de segon grau té la forma

$a{x}^2+bx+c=0$

aleshores el discriminant és

$b^2-4ac$

Ara si el discriminant és estrictament positiu, l'equació de segon grau tendrà 2 solucions. Si és estrictament negatiu, no tendrà cap solució. I si és igual a zero, només tendrà una solució.

Com a exemples d'equacions de segon grau inconmpatibles, podem escriure qualsevol que tengui discriminant negatiu. Per exemple:

• $x^2+9=0$
• $2x^2+2x+2=0$
• $x^2-3x+10=0$