Viquiprojecte:CEPA Sa Pobla/ESPA/Matemàtiques/Matemàtiques 2.1/Unitat 3/Mesures de posició

Quartils

Una vegada que les dades estan ordenades, es defineixen els quartils:

• El primer quartil és el valor que deixa el 25% de les dades per davall.
• El segon quartil és el valor que deixa el 50% de les dades per davall.
• El tercer quartil és el valor que deixa el 75% de les dades per davall.

El segon quartil coincideix amb la mediana.

El vídeo següent explica el significat dels quartils i com s'haurien de calcular quan tenim una sèrie de dades.

Exemple: llista de dades

Partim de les dades següents corresponents a algun variable estadística:

$64,10,42,8,37,75,37,68,95,91,64,29$

Les ordenam de menor a major:

$8,10,29,37,37,42,64,64,68,75,91,95$

El segon quartil és la mediana de tota la sèrie. Com que hi ha un nombre parell de dades, les posicions intermitges són $12/2=6$ i $12/2+1=7$. La llista queda dividida en dues meitats:

$8,10,29,37,37,42$ i $64,64,68,75,91,95$

La semisuma de 42 i 64 és $\frac{42+64}{2}=\frac{106}{2}=53$. Per tant, el segon quartil és:

$Q_2=53$

El primer quartil és la mediana de la primera llista. Aquesta llista també té un nombre parell de dades i queda dividida en dues meitats:

$8,10,29$ i $37,37,42$

La semisuma de 29 i 37 és $\frac{29+37}{2}=\frac{66}{2}=3$. Per tant, el primer quartil és:

$Q_1=33$

El tercer quartil és la mediana de la segona llista. Aquesta segona llista també té un nombre parell de dades i queda dividida en dues meitats:

$64,64,68$ i $75,91,95$

La semisuma de 68 i 75 és $\frac{68+75}{2}=\frac{143}{2}=71.5$. Per tant, el tercer quartil és:

$Q_3=71.5$

Exemple: dades sobre taula de freqüències

Partim de les dades d'una variable estadística ja tabulades. S'han calculat les freqüències absolutes, acumulades i relatives acumulades.

$x_i$	$f_i$	$F_i$	$F_i/40$
1	7	7	0.175
2	9	16	0.4
3	8	24	0.6
4	6	30	0.75
5	10	40	1

Com que les dades ja estan ordenades (primera columna) podem cercar els quartils a partir de la columna de freqüència relativa acumulada.

• El primer quartil correspon al 25%, és a dir, entre 0.175 i 0.4. Per tant, el primer quartil és 2.
• El segon quartil correspon al 50%, és a dir, entre 0.4 i 0.6. Per tant, el segon quartil és 3.
• El tercer quartil correspon al 75%, és a dir, exactament a 0.75. Com que cau exactament sobre una fila, el tercer quartil és la mediana de 4 i 5, que és 4.5.

En realitat la informació d'aquesta taula es podria escriure amb les dades desenvolupades com una llista ordenada.

$\underset{f_1=7}{\underbrace{1,1,1,1,1,1,1}},$

$\underset{f_2=9}{\underbrace{2,2,2,2,2,2,2,2,2}},$

$\underset{f_3=8}{\underbrace{3,3,3,3,3,3,3,3}},$

$\underset{f_4=6}{\underbrace{4,4,4,4,4,4}},$

$\underset{f_5=10}{\underbrace{5,5,5,5,5,5,5,5,5,5}}$

Si de 40 dades en feim 4 trossos, cada tros hauria de tenir 10 dades. S'han marcat les posicions 10a, 20a i 30a en negreta de color vermell. Corresponen al 25%, 50% i 75% de les dades, respectivament.

$\underset{\text{Primeres 10 dades}}{\underbrace{1,1,1,1,1,1,1,2,2,\mathrm{𝟐}}},$

$\underset{\text{Dades de la 11a a la 20a}}{\underbrace{2,2,2,2,2,2,3,3,3,\mathrm{𝟑}}},$

$\underset{\text{Dades de la 21a a la 30a}}{\underbrace{3,3,3,3,4,4,4,4,4,\mathrm{𝟒}}},$

$\underset{\text{Dades més enllà de la 30a}}{\underbrace{5,5,5,5,5,5,5,5,5,5}}$

• El primer quartil és la mediana dels valors a les posicions 10a i 11a, és a dir, 2, perquè coincideixen.
• El segon quartil és la mediana dels valors a les posicions 20a i 21a, és a dir, 3, perquè coincideixen.
• El tercer quartil és la mediana dels valors a les posicions 30a i 31a, és a dir, $\frac{4+5}{2}=4.5$.

Percentils

El percentil és una mesura que es basa en dividir la sèrie de dades en 100 fragments de la mateixa longitud. D'aquesta manera les dades es poden analitzar com a percentatges.

Què significa percentil 80?

És un valor que ens divideix les dades en dos conjunts:

• Un 80% de les dades es troben per davall d'aquest valor.
• Un 20% de les dades es troben per damunt.

No hi ha una forma única de definir el percentil, sinó diversos mètodes, però per a grans quantitats de dades els mètodes solen donar resultats similars.

Exemples gràfics

• 
•